حل معادله ی دیفرانسیل جرم و فنر در متلب

معادلات دیفرانسیل چیست؟

معادله دیفرانسیل یک دسته از معادلات ریاضی است که بیانگر رابسه بین یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و عشق های سر شب های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است بسیاری از قوانین عمومی طبیعت در فیزیک، شیمی، زیست شناسی و ستاره شتابا طیمی ترین سان درمانی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می یابند هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر در حالتها يا زمان های مختلف وجود دارد و نرخ تغییرات متغیرها نسبت به زمان یا حالات مختلف شناخته شده است. آن پدیده با معادلات دیفرانسیل بیان می شود. معادلات دیفرانسیل همچنین در رباتیات، بویژه در هندسه و نیز در علوم مهندسی کاربرد فرلیان دارد. به عنوان مثال در مکانیک و در شاخه دینامیک حرکت جسم بوسیله سرعت و سکان آن در زمان های مختلف توصیف می شود و معادلات نیوتن رابطه بین مکان، سرعت، شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را می دهد. در چنین شرایطی حرکت جسم در قالب یک معادله دیفرانسیل توصیف می شود.

شاید این مطالب نیز برای شما جذاب باشد، پیشنهاد میکنیم به این صفحات نیز سر بزنید:

تحلیل خرپا دوبعدی به روش اجزاء محدود در متلب

دسته بندی معادلات دیفرانسیل

با توجه به نوع مشتقات نسبت به حالتیها و زمان، معادلات دیفرانسیل به طور کلی به دو دسته تقسیم بندی می شود.

معادلات دیفرانسیل معمولی

در ریاضیات، معادله دیفرانسیل معمولی به عمادالیایی گفته می شود که در آن تابعی از تنها یک متغیر مستقل و مشتقات آن شایع وجود داشته باشد. معادلات دیفرانسیل معمولی به دو دسته خطی و غیرخلی تقسیم می شوند. معادلات دیفرانسیل معمولی خطی به طور کامل و دقیق شناخته و بررسی شدهاند و جواب های بسته تحلیلی برای آن ها وجود دارد، معادلات دیفرانسیل معمولی غیر خطی که خاصیت جمع پذیری برای جواب آنها صادق نیست. دارای حال پیچیده تری هستند و به ندرت جوایی بسته بر اساس شایع مقدمانی ریاضی برای آنها یافت می شود در عوضی برای چنین معادلاتی، می توان جواب هایی به صورت سری یا به فرم انتگرالی پیدا کرد علاوه بر این، می توان به کمک روش های عددی با گرافیکی که به صورت دستی با رایانه ای قابل پیاده سازی هستند جواب معادلات دیفرانسیل غیر خطی را تخمين زد روش های تختی می توانند در غیاب جواب های تحلیلی و بسته، اطلاعات مفیدی در اختیار بگذارند.

شاید این مطالب نیز برای شما جذاب باشد، پیشنهاد میکنیم به این صفحات نیز سر بزنید:

رد پای معادلات دیفرانسیل معمولی را در زمینه های مختلف علوم ریاضی تجربی یا اجتماعی می توان يافت. شاخه هایی از علوم که معادلات دیفرانسیل معمولی در آنها کار کردی اساسی دارند، هندسه، علوم مهندسی همچون مکانیک تحلیلی و مهندسی برق، زمین شناسی، فیزیک، شیمی تحلیل زنجیره های واکنش هسته ای زیست شناسی گسترش بیماری های عفوی، تغییرات ژنتیکی – بوم شناسی مدل سازی جعبت) و التسافر تغييرات سود و قیمت سهام) است. فرض کنید F تابعی همین از لاو و مشتقات نسبت به x باشد. در این صورت معادله ۱-۱ بک سادله دیفرانسیل معمولی صریح از مرتية n نامیده می شود.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات ب‍‍‍‍اره ای

معادلات دیفرانسیلی که در آنها توابع مجهول برحسب چند متغیر مستقل به همراه مشتق پارمای تابع نسبت به آن متغیرها شرکت داشته باشند معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزییا پاره ای) نامیده می شود. مرتبه سائله عبارت است از بالاترين مرثیه شقی که در معادله وجود دارد درجه معادله عبارت است از بالاترین ثوان منتفی که بالاترين مرثیه را در معادله دارد. معمولا یک معادله دیفرانسیل از مرتبه ، جوابي شامل n ثابت دلخواه دارد که آن را جواب عمومی می نامند.

روش های حل

برخی از ریاضیدانان برجسته تاریخ که در حل و بحث معادلات دیفرانسیل نقش داشته اند، نیوتن، لایبنیتس، خاندان برنولی، ریکاتی، الکسی کلرو، دالامبر و لئونارد اویلر هستند. به طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می شوند.
برخی از معادلات دارای جواب دقیق و فرم تابعی هستند، این گونه معادلات را می توان از روشهای تحلیلی حل نمود و به جواب دقيق رسیده اند.
معادلات دیگر که دارای فرم تابعی مشخص نیستند، توسط روش های نیمه تحلیلی یا عددی حل می شوند. از روش های نیمه تحلیلی می توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و ... اشاره کرد.
روش های عددی دامنه وسیعتری را برای حل معادلات به کار می گیرد. از روشهای حل عددی می توان به اویلر، هون، تيلور، راتگ-کوتا، آدامز بشفورت-مولتون، روش میلن-سیمپسون، هامینگ، فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمان زاده - کایوایت، روش های طیفی و شبه طیفی، روش های شبکه ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش های بدون شبکه اشاره کرد.

توابع مربوط به حل ode در متلب:

توابع نرم افزار متلب که برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی ایجاد شده اند بر اساس سختی معادلات دقت و نوع معادلات در جدول زیر دسته بندی شده اند.

2 Min

حل ارتعاشات جرم و فنر نامیرا تحت اثر نیروی خارجی:

3 Min

در صورتی که از نیروی اصطکاک صرف نظر شود معادله ی سیستم ارتعاشی نشان داده شده بصورت زیر خواهد بود که در آن m اینرسی سیستم و k فنریت سیستم است.

حل با استفاده از ode45:

function dzdt=gslidependul(t,z)
global k m2 d g
dzdt=zeros(4,1);
dzdt=[ z(2); m2*d/2*z(4)^2*sin(z(3))-k*z(1); z(4); -m2*g*d/2*sin(z(3)) ];
end

حال در محیط اسکریپت بصورت زیر حل میشود :

clc;clear all
global m1 m2 d k g
k=10;m1 = 0.5;m2 = 0.1;d = 0.4;g = 9.81;
tspan = linspace(0,50,500);
x0=0;xdot0=0;teta0=pi/3;tetadot0=0;
IC = [x0; xdot0; teta0; tetadot0];
options = odeset('Mass',@Mslidependul);
[t, s] = ode23t(@gslidependul,tspan,IC,options);