توضیحات اولیه پروژه تاثیر وجود ترک (یا سوراخ) در یک گوی فلزی

1- مقدمه

مکانیک شکست یا مکانیک ترک (Fracture Mechanics) شاخه‌ای از مکانیک جامدات می‌باشد که به بررسی ایجاد و گسترش ترک در جامدات (و سازه‌ها) و نحوه تاثیر آن بر تغییر شکل و احیانا زوال سازه می‌پردازد. این موضوعات از هر دو منظر مکانیک محیط‌های پیوسته و محیط‌های گسسته مورد مطالعه قرار گرفته و می­گیرد [[1]]. نقطه آغازین این دانش آزمایشاتی بود که بوسیله گریفیتث (Griffith) بر روی شیشه انجام گرفت و در سال ۱۹۲۸ میلادی در ژورنال انجمن سلطنتی به چاپ رسید[[2]]. پیچیدگی‌های منحصر بفرد ترک این دانش را عرصه تلاش‌های تئوری و تجربی بسیاری کرده است و هنوز هم بسیاری از مسال آن لاینحل باقی مانده است.

کاربرد این علم و نتایج آن در طراحی کشتی، سازه‌ها بویژه سازه‌های بتنی، ژئوفیزیک و زمین‌شناسی مهندسی، مهندسی پزشکی و مهندسی مکانیک می‌باشد.

مکانیک شکست ارتجاعی خطی، روشی برای بیان میدان و توزیع تنش در نزدیکی نوک ترک بر حسب بارگذاری در دور دست، اندازه و شکل هندسی ترک یا ناپیوستگی ترک گونه می­باشد. مهمترین اصل مکانیک شکست ارتجاعی خطی این است که توزیع تنش نزدیک یک ترک نوک تیز، بر حسب یک کمیت به نام ضریب شدت تنش  با واحد  قابل بیان است که به هر دو عامل، تنش وارده به قطعه در دور دست ( ) و هندسه­ی قطعه (شامل طول ترک)، بستگی دارد. توسط ضریب شدت تنش می­توان تنش موضعی در نوک ترک را به تنش دور دست (مانند تنش اعمال شده به قطعه) مرتبط کرد. اگرصفحه­ای به عرض نامحدود که تحت بار کششی یکنواخت در دوردست قرار گرفته و دارای ترکی به طول 2a در وسط است، مورد نظر قرار گیرد شکل 1 که در آن 2b بسیار بزرگتر از طول ترک در نظر گرفته می­شود، مقدارضریب شدت تنش  به صورت زیر بیان می­شود:

شکل 1: صفحه با عرض محدود دارای ترک مرکزی

2- ضریب شدت تنش

رشد ترک در سازه­های الاستیک بستگی به میزان پارامتری به نام ضریب شدت تنش[1] دارد، به طوریکه معیارهای سنتی و متداول شکست غالباً قادر نیستند به صورت کامل در اکثر موارد شکست سازه­ای را که در تنش­های خیلی کمتر از مقاومت نهایی مواد اتفاق می­افتند را توجیه کنند. نمونه­هایی از آن شامل پل­ها، مخازن، لوله­ها، جنگ افزارها، کشتی­ها، راه­آهن و سازه­های هوافضا می­باشد. از آنجایی که عملاً سازه­ای بدون نقص نمی­تواند ساخته شود، طراحی ایمن سازه­ها باید از دو طریق انجام شود: یا نیروی مکانیکی ایمن باید در جایی که یک ترک با اندازه­ی مشخص فرض می­شود در سازه وجود داشته باشد، محاسبه گردد و یا اندازه­ی ترکی که در سازه ایجاد می­شود با نیروی کار مشخص باید محاسبه گردد. محاسبه­ی نیروهای مکانیکی ایمن و همچنین اندازه­گیری طول ترک در هر مرحله از بارگذاری و تعیین مسیر رشد ترک از طریق آزمایش مستلزم صرف هزینه و زمان زیادی می باشد. یکی از محاسن بزرگ استفاده از شبیه­سازی قبل از فرآیند شکل­دهی و ساخت این است که بدون صرف زمان و هزینه­ی زیاد قادر به اندازه­گیری ضرایب شدت تنش در نواحی نوک ترک و پیشگویی مسیر رشد ترک و ارائه­ی راهکارهای مناسب جهت متوقف ساختن رشد ترک خواهیم بود.

شکست در حالت کرنش صفحه­ای در مواد با استحکام بالا توسط روشهای مکانیک شکست بخوبی قابل بررسی است. روش ضریب شدت تنش در دهه 1950 با تبعیت از روش انرژی کرنشی الاستیک که توسط Griffith برای شکست ترد بنا شده بود، توسط Irwin توسعه پیدا کرد. کارهای Irwin منتهی شد به پایه‌های مفهوم مکانیک شکست الاستیک خطی[2] که هنوز اصول تحلیل انتشار ترک به حساب می­آیند.

این نظریه را زمانی می­توان بکار برد که اندازه ناحیه پلاستیک نوک ترک در مقایسه با طول ترک کوچک باشد. برای تحلیل الاستیک خطی، مفاهیم نرخ رهایش انرژی و ضرایب شدت تنش پیوند نزدیکی با یکدیگر پیدا می‌کنند. نرخ رهایش انرژی G و ضرایب شدت تنش K_I، K_II و K_III از اولین پارامترهای مکانیک شکست هستند که باید برای انتشار ترک، مقادیر آنها را بدست آورد.

شکل کلی ضریب شدت تنش بصورت زیر است:

که در ناحیه الاستیک می­توان از رابطه زیر استفاده نمود:

که σ تنش مود بازشوندگی، a اندازه ترک و Q ضریب تصحیح شکل می­باشد.

2-1- روش­های محاسبه ضریب شدت تنش

2-1-1-  روش انتگرال j

اولین بار آقای Rice آن را مطرح کرد. انتگرال j، انتگرال روی یک مسیر بسته می­باشد که از وجه پایین ترک شروع می­شود و رأس ترک را در بر می­گیرد و به وجه بالایی ترک می­رسد. اگر کانتور انتگرال­گیری را در ناحیه پلاستیک انتخاب نکنیم این انتگرال مستقل از مسیر است. نرم افزار ABAQUS با استفاده از روش انتگرال j ، مستقیماً ضریب شدت تنش را به ما می­دهد. جواب­های به دست آمده از این روش حداکثر خطایی از مرتبه  دارد. به دلیل اینکه دقت عددی انتگرال از دقت عددی مشتق بیشتر است، این روش دقیق­تر از روش نرخ رهایش انرژی می­باشد. این روش حائز بازده عددی بالایی است.

به دلیل اینکه در رأس ترک singularity داریم عددی که نرم افزار در این نقاط می­دهد چندان معتبر نیست. اما در نزدیکی آن نتایج قابل قبولی ارائه می­دهد.

بنابراین با محاسبه انتگرال j و جایگذاری آن در روابط 4، ضریب شدت تنش تعیین خواهد شد.

 E مدول الاستیک و ν ضریب پوآسون ماده می­باشد. همانطور که در رابطه 3 ملاحظه می­شود رابطه ضریب شدت تنش براساس J برای قطعات کرنش صفحه­ای و تنش صفحه­ای متفاوت می­باشد.

• روش جابجایی

یکی دیگر از روشهای محاسبه ضریب شدت تنش محاسبه جابجایی نوک ترک می­باشد. رابطه ضریب شدت تنش با جابجایی نوک ترک مطابق با رابطه (5) می­باشد:

برای محاسبه  از این روش، های به دست آمده از طریق رابطه جابجایی در نزدیکی نقاط رأس ترک را با یک منحنی برون­یابی کرده و مقدار  در رأس ترک را محاسبه می­کنیم. در این روش برای انتخاب نقاط نزدیک راًس ترک، از سمت چپ ترک به راًس ترک نزدیک می­شویم.

• روش تنش

یکی از روش­های محاسبه ضریب شدت تنش، محاسبه تنش­های عمود بر راستای ترک مطابق شکل 2 و در نزدیکی نوک ترک می­باشد. رابطه ضریب شدت تنش با تنش در نوک ترک مطابق با رابطه (6) می­باشد:

شکل 2: صفحه با عرض محدود دارای ترک مرکزی

برای محاسبه  از این روش،  های به دست آمده از طریق رابطه تنش در نزدیکی نقاط رأس ترک را با یک منحنی برون یابی کرده و مقدار  در رأس ترک را محاسبه می­کنیم. در این روش برای انتخاب نقاط نزدیک راًس ترک، از سمت راست ترک به راًس ترک نزدیک می شویم.

لازم به ذکر است در صورتی که مطابق  راستای ترک با راستای بار اعمالی زاویه β داشته باشد ضریب شدت تنش از رابطه (7) محاسبه خواهد شد:

شکل 3: صفحه با عرض محدود دارای ترک مرکزی زاویه­ دار

اگر جواب­ها را همگرا کنیم، دقت این روش از روش جابجایی کمتر است. زیرا تنش از کرنش به دست می آید و کرنش نیز مشتق جابجایی است. بنابراین افزایش تفاضل محدود خطا را بالا می­برد.

پس روش مربوط به استفاده از جابجایی دقیق­تر از استفاده از تنش است و ضرایب شدت تنش با دقتی در محدوده  به دست می دهد.

• روش نرخ رهایش انرژی

در یک تلاش برای کاهش تعداد زیاد المانهای ریز در اطراف نوک ترک تکنیک­های دیگری ارائه شده است، که لزوم نزدیک شدن به نوک ترک را از بین می برد. یکی از این روش ها نرخ رهایش انرژی در واحد ضخامت را به خدمت می گیرد. در این روش با داشتن المانهای ریز در اطراف ترک U را یافته و  می نامیم. سپس اولین گره را آزاد کرده و مجدداً U را یافته و  می نامیم. حال از طریق روابط زیر  را محاسبه می­کنیم:

محاسبه  در این حالت از روش جابجایی نیز دقیق­تر است. زیرا مستقیماٌ از انرژی به دست می­آید. این روش خطایی در محدوده  ایجاد می­کند.

• تعریف مسئله:

در این تحقیق یک گوی کروی تحت بارگذاری افزاینده استاتیکی که حاوی یک ترک یا حفره در مرکز می‌باشد، مورد بررسی قرار خواهد گرفت. شکل هندسی گوی کروی مطابق با شکل 4 می­باشد. همچنین مشخصات ابعادی آن مطابق با جدول 1 می­باشد.

شکل 4: گوی کروی

جدول 1: مشخصات هندسی گوی کروی

همچنین شایان ذکر است که گوی کروی از جنس فولاد با خواص مکانیکی مطابق با جدول 2 می­باشد.

جدول 2: مشخصات مکانیکی گوی کروی

در این مسئله بار افزاینده استاتیکی بصورت گسترده بر روی سطح خارجی گوی کروی اعمال خواهد شد. همچنین در این مسأله شکست را الاستیک خطی فرض می­کنیم و طول ترک موجود در گوی کروی mm 4 خواهد بود. حفره موجود در گوی کروی نیز دارای شعاع mm 4 می­باشد. در ادامه فرایند مدلسازی مسئله در نرم افزار abaqus 6.14 تشریح خواهد شد.

• ترسیم مدل هندسی

جهت ترسیم مدل هندسی مسئله وارد محیط part نرم افزار می­شویم. در این ماژول جهت کاهش زمان حل مسئله و به دلیل تقارن هندسی و بارگذاری وارد بر گوی کروی، با فرض تقارن محوری مدل را مطابق ترسیم می­کنیم.

شکل 5: ترسیم مدل تقارن محوری گوی کروی

• تعیین خصوصیات مکانیکی

جهت تعیین خصوصیات مکانیکی گوی کروی وارد ماژول property از نرم افزار می­شویم. با توجه به اینکه قصد داریم تنها تحلیل استاتیکی انجام دهیم، بنابراین تنها مدول یانگ و ضریب پواسون فولاد جهت انجام تحلیل کافی است. همچنین جهت اعمال وزن سازه لازم است چگالی فولاد نیز در نرم افزار تعریف شود. همچنین مطابق شکل 4 خواص مکانیکی محور چرخ­ها بر اساس اطلاعات جدول 1 در نرم افزار تعریف شده است.

شکل 6: تعریف خواص مکانیکی در نرم افزار

• مونتاژ قطعات

پس از ترسیم قطعات، جهت مونتاژ آنها وارد ماژول assembly می­شویم. در این ماژول قطعات مدل مطابق شکل 7 مونتاژ می­شوند. در این ماژول تنها تعیین موقعیت مکانی قطعات مورد نظر می­باشد.

شکل 7: مونتاژ گوی کروی

• تعریف نوع تحلیل

جهت تعریف نوع حل مسئله وارد محیط step می­شویم و تحلیل استاتیکی را مطابق شکل 8 از میان حل­های موجود انتخاب می­کنیم.

شکل 8: انتخاب نوع تحلیل

• تعریف ترک

جهت تعریف ترک وارد محیط interaction می­شویم. در این ماژول ابتدا با استفاده از پارتیشن بندی هندسه ترک را مطابق شکل 9 ترسیم می­کنیم. سپس با استفاده از دستور create crack و انتخاب conture integral مطابق شکل 10 از میان روش­های موجود، به تعریف ترک می­پردازیم.

شکل 9: ترسیم هندسه ترک

شکل 10: انتخاب روش تعریف ترک

در ادامه جبهه ترک و نوک ترک را مطابق شکل 11 انتخاب می­کنیم. سپس جهت تعریف مکانیک شکست الاستیک خطی تنظیمات مطابق با شکل 12 را در پنجره edit crack انجام می­دهیم.

شکل 11: تعریف جبهه و نوک ترک

شکل 12:  ایجاد qurter point

• تعریف بارگذاری و شرایط مرزی

جهت اعمال بارگذاری و شرایط مرزی سازه وارد ماژول load می­شویم. در این ماژول ابتدا شرط مرزی جابجایی صفر به یک نقطه از گوی کروی مطابق شکل 13 اعمال خواهد شد.

شکل 13: تعریف شرط مرزی جابجایی صفر

سپس مطابق شکل 14 بار گسترده MPa 1 به گوی کروی اعمال می­شود.

شکل 14: اعمال بار گسترده به سطح خارجی گوی کروی

• مش­بندی سازه

جهت مش­بندی سازه وارد ماژول mesh از نرم افزارمی­شویم. جهت مش­بندی اطراف ترک، ابتدا کانتور اول حول نوک ترک را با استفاده از المان مثلثی و با زاویه 22.5 درجه مش­بندی می­کنیم. شایان ذکر است که نوع المان سایر نواحی سازه چندان اهمیت ندارد. بنابراین مش­بندی گوی کروی مطابق شکل 15 انجام خواهد شد. مش­بندی این سازه با 387 المان خطی از نوع  CAX4R انجام شده است.

شکل 15: مش­بندی سازه

3-8- تحلیل نتایج

پس از حل مسئله توسط نرم­ افزار نتایج کانتور تنش فون میسز و ماکزیمم تنش اصلی مطابق شکل 16 و شکل 17 ارائه می­شود. همانطور که مشاهده می­شود حداکثر تنش فون میسز وارد بر گوی کروی برابر با MPa 1.79 می­باشد و در نوک ترک اتفاق می­افتد. همچنین حداکثر تنش اصلی نیز برابر با MPa 2.5 می‌باشد و در نوک ترک اتفاق می­افتد.

همچنین در ادامه با اعمال حفره دایروی با شعاع mm 4 بر روی مرکز گوی کروی نتایج تنش فون میسز و ماکزیمم تنش اصلی مطابق شکل 18 و شکل 19 ارائه می­شود. مشاهده می­شود که در این حالت نیز حداکثر تنش فون میسز و حداکثر تنش اصلی بر روی لبه­ی حفره دایروی اتفاق می­افتد. اما نکته حائز اهمیت این است که میزان تنش­ها در این حالت کمتر از حالت وجود ترک در گوی کروی است و تقریبا نصف آن می­باشد. در این حالت حداکثر تنش فون میسز وارد بر گوی کروی تقریبا برابر با MPa 1 و حداکثر تنش اصلی نیز برابر با MPa 1.46 می‌باشد.

در ادامه مطابق شکل 20 و شکل 21 بترتیب کانتور تنش فون میسز و کانتور حداکثر تنش اصلی گوی کروی بدون عیوب مشاهده می­شود. همانطور که مشاهده می­شود در این حالت محل حداکثر تنش در محل اعمال بار گسترده قرار دارد و مقدار آن برابر با حالت گوی کروی حاوی حفره کروی می­باشد.

بنابراین نتیجه می­گیریم که:

• در حالتی که گوی کروی حاوی ترک باشد، بیشترین مقدار تنش را داریم و محل حداکثر تنش در نوک ترک می­باشد.
• در حالتی که گوی کروی شامل عیوب ساختاری باشد، محل حداکثر تنش بر روی عیوب موجود در سازه اتفاق می­افتد.
• وجود عیوب از نوع حفره دایروی تنها موجب انتقال محل حداکثر تنش بر روی عیوب موحود در سازه خواهد شد و میزان تنش­ها تغییر نخواهد کرد.

شکل 16: کانتور تنش فون میسز بر روی گوی کروی حاوی ترک

شکل 17: کانتور حداکثر تنش اصلی بر روی گوی کروی حاوی ترک

شکل 18: کانتور تنش فون میسز بر روی گوی کروی حاوی حفره دایروی

شکل 19: کانتور حداکثر تنش اصلی بر روی گوی کروی حاوی حفره دایروی

شکل 20: کانتور تنش فون میسز بر روی گوی کروی بدون عیوب

شکل 21: کانتور حداکثر تنش اصلی بر روی گوی کروی بدون عیوب

[1] - Stress intensity factor

[2] - Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM)

[1] . T. L. Anderson, "Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications" (1995) CRC Press

[2] - Griffith, A.A. 1920. The phenomena of rupture and flow in solids. Phil.Trans.Roy.Soc.Lond. A221, pp. 163–198